Leonardo Pisano rođen je 1170. godine u Pisi u Italiji. Bio je sin Gulilelma Bonaccija i otuda njegov poznati naziv „Fibonacci“ (filius Bonacci – Bonaccijev sin). Imao je utjecajnog oca koji je većinu svog vremena putovao pa je tako i Leonardo s njim obišao puno zemalja. Školu računovodstva pohađao je u Bugii (danas Bejaia – luka na sjeveroistoku Alžira). Svoja znanja sakupljao je na proputovanjima s ocem Egiptom, Grčkom, Sardinijom i ostalim zemljama. 1200. godine vraća se u Pisu gdje počinje s pisanjem matematičkih knjiga. U to se doba knjige još nisu tiskale tako da su njegova originalna djela pisana rukom. Neka od njegovih djela su sačuvana a neka su nažalost izgubljena.

U njegovo je doba vladao car Fredrik II. koji je sam primijetio Fibonaccija kao „stručnjaka za brojeve“ te ga je odlučio angažirati u računovodstvu. Dobio je carevo priznanje i nagradu za doprinos gradu, za savjetovanje o pitanjima vezanima za računovodstvo te za podučavanje građana.

Fibonaccijevo najpoznatije djelo je knjiga „Liber abaci“ (Knjiga o računanju, 1202.g.). Na pojavu tog djela uvelike su utjecale arapska matematika i Fibonaccijeva putovanja na kojima se upoznao s arapskom i indijskom matematikom. Temelj Fibonaccijeve, kao i indijske, matematike je broj. Služio se je retoričkim načinom izlaganja kakvim su se koristili Arapi. Zadani broj nazivao je numerus ili denarius (novac), a nepoznanicu res (stvar).

Primjer iz završetka 13. poglavlja knjige:

„…Na taj način, stvar i 12 denariusa je sedam puta veće od 5 stvari bez denariusa. Odavdje se 34 stvari sastoje od 96 denariusa, a jedna stvar je  denariusa.“

U ovom se tekstu vidi kako Fibonacci promatra poznate i nepoznate veličine kao konkretne, nazivajući ih novcem i stvarima. Zapišemo li ovaj tekst matematičkim jezikom dobivamo:

U 12. poglavlju knjige postavlja zadatak sa zečevima, gdje se prvi puta pojavljuju tzv. Fibonaccijevi brojevi i Fibonaccijev niz.

„Pretpostavimo da je jedan par novorođenih zečeva doveden na pusti otok 1. siječnja. Taj će par dobiti jedan par mladih zečeva svakog prvog dana u mjesecu, počevši od 1. ožujka. Svaki će novi par također dobiti kao potomke jedan par zečeva svakog prvog dana u mjesecu, ali tek nakon navršena dva mjeseca života. Treba odrediti koliko će parova zečeva biti na tom otoku 1. siječnja iduće godine?”

Fibonacci je pod idealnim uvjetima pretpostavio da:

• jedan par tek rođenih zečeva stavi na pusti otok
• zečevi spolno sazrijevaju mjesec dana nakon rođenja
• majka nosi mlade mjesec dana
• majka uvijek rađa par muško/žensko
• za vrijeme eksperimenta zečevi ne ugibaju

Zatim je računao će koliko parova zečeva u takvim uvjetima imati iz mjeseca u mjesec do kraja eksperimenta te je dobio niz brojeva: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377.

Svaki sljedeći mjesec imamo onoliko parova koliko iznosi zbroj brojeva, koliko ih je bilo prošli i pretprošli mjesec te je n taj način na kraju eksperimenta dobio 377 zečeva.

Danas je Fibonacci poznatiji po problemu sa zečevima, nego činjenici da je Europljanima omogućio lakše računanje uvođenjem decimalnog sustava (do tada se je računalo s rimskim brojevima) ili po tome što je uveo razlomačku crtu.

Fibonaccijevi brojevi ili Fibonaccijev niz čine brojevi: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21, … i svaki se sljedeći broj računa kao zbroj prethodna dva broja u nizu.Prva dva broja su 0 i 1:

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

...

• Fibonaccijev se niz pojavljuje u mnogim matematičkim i manje matematičkim problemima, ali i u prirodi. Uzorak koji se ponavlja u Fibonaccijevom nizu kasnije je zamijećen u mnogim pojavama u prirodi kao što su: spiralni rast školjaka, uzorak rasta lišća na biljkama, omjer dijelova tijela životinja i čovjeka, itd.

Fibonaccijev se niz često povezuje i s brojem zlatnog reza (phi) koji je također poznat pod imenom „Božanski omjer“.  Ako uzmemo dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1.618 (3:2 = 1.5; 5:3 = 1.66;  8:5 = 1.6 …). Broj 1.618  je broj phi  i omjeri dvaju uzastopnih Fibonaccijevih brojeva teže omjeru zlatnog reza.

„Zlatni broj“, phi (1.618) ima udio u mnogim područjima prirodnog svijeta, kao i u strukturi ljudskog tijela. Phi je poseban zbog svojih neobičnih matematičkih osobitosti, a nalazimo ga u svakodnevnom životu, dizajnu, graditeljstvu, estetici, ekonomiji, fizici, matematici, svemiru i dr.

Kada bismo konstruirali kvadrat od Fibonaccijevih brojeva, prvi i drugi kvadrat bi imali stranicu 1, treći kvadrat bi bio sa stranicom 2 i tako redom slijedeći brojeve iz niza. Stranica svakog kvadrata jednaka je zbroju dužina stranica dvaju prethodih kvadrata a kada bismo u svaki kvadrat upisali četvrtinu kružnice (što bi značilo nacrtati četvrtinu kružnice kojoj je središte u jednom vrhu kvadrata, a polumjer je jednak stranici kvadrata) dobili bismo krivulju koja se naziva Fibonaccijeva krivulja (spirala).

Fibonaccijeva se spirala nalazi u različitim oblicima u prirodi: u ljušturi glavonošca indijske lađice (nautilus), ljudskom uhu, strukturi češera, suncokretu, cvjetači, brokuli, ananasu, u spiralnim galaksijama u svemiru, repu kameleona itd.

Iako toga možda nismo svjesni, s Fibonaccijevim brojevima se svakodnevno susrećemo:

• U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela, nego ženki pčela. Kada bismo podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bismo dobili broj phi
• Izmjerimo li ljudsku dužinu od vrha glave do poda i zatim ju podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobivamo broj phi
• Za velik broj vrsta cvijeća vrijedi da je broj latica jedan od Fibonaccijevih brojeva (češći su manji Fibonaccijevi brojevi: 1 (spatifilum), 3 (visibaba), 5 (divlja ruža), 8 (kokotić), 13 (tratinčica), 21 (cikorija), 34 (buhač) i oni su uglavnom svojstveni vrsti)

• Pojava Fibonaccijevih brojeva (broj spirala, ne broj sjemenki) očita je i u sjemenskim dijelovima biljaka kao u suncokretu, češeru, cvjetači, brokuli, ananasu i dr. Formiraju se uzorci koji su kao lukovi kružnica postavljeni u dva smjera – ako prebrojimo broj spirala u smjeru kazaljke na satu i suprotnom smjeru dobit ćemo dva susjedna Fibonaccijeva broja.
• Prilikom rasta mlade se biljka granči i pušta lišće kako bi dobila određene supstance nužne za daljnje grananje. Kada se biljka grana, uglavnom se grana po Fibonaccijevim brojevima

Fibonaccijevi su zečevi uveli pravu revoluciju u svijet matematike i time „proslavili“ Fibonaccija. Došlo je do mnogih istraživanja i proučavanja raznih svojstava Fibonaccijevih brojeva i Fibonaccijeve spirale koji se primjenjuju i uočavaju u mnogim stvarima koje nas okružuju pa tako sljedeći put kada odemo na tržnicu mogli bismo malo bolje pogledati voće i povrće ne bismo li možda primjetili i Fibonaccijeve brojeve ili pak Fibonaccijevu spiralu!

      Ivo Žikić, prof.